Cabut Dulu atau Cabut Akhir? Matematik di Sebalik Cabutan Bertuah yang Adil

Di setiap majlis makan malam syarikat, hari keluarga atau jamuan kelas, perkara yang sama berlaku apabila balang cabutan bertuah dibawa keluar. Ada yang berebut mahu mencabut dulu, kerana semua hadiah masih ada. Ada pula yang sengaja menunggu, kerana pada fikiran mereka, orang lain akan menghabiskan kertas kosong terlebih dahulu.

Kedua-dua kumpulan itu sebenarnya mendapat peluang yang sama tepat.

Cuba dengan contoh paling kecil: tiga keping kertas, satu sahaja yang menang. Orang pertama mempunyai peluang satu per tiga. Orang kedua hanya menang jika orang pertama tidak menang, iaitu dua per tiga, dan kemudian mencabut yang betul daripada dua keping yang tinggal, iaitu separuh. Dua per tiga darab separuh ialah satu per tiga. Orang ketiga menang jika dua orang sebelumnya kedua-duanya gagal — dua per tiga darab separuh — dan kertas terakhir pasti menang. Sekali lagi, satu per tiga.

Hasil ini berlaku untuk sebarang bilangan kertas dan sebarang bilangan hadiah. Sebelum sesiapa membuka kertasnya, setiap giliran sama nilai. Yang berubah hanyalah maklumat: jika orang di hadapan anda membuka kertas kosong, peluang anda memang naik. Tetapi jika orang di hadapan anda menang, peluang anda jatuh dengan jumlah yang sama, dan purata kedua-dua kemungkinan itu membawa anda tepat kembali ke tempat asal.

Jadi giliran tidak penting. Yang penting ialah sesuatu yang jarang diberi perhatian langsung: sama ada kertas di dalam balang itu benar-benar bercampur.

Contoh paling terkenal tentang perkara ini berlaku di Amerika Syarikat pada Disember 1969, apabila cabutan digunakan untuk menentukan susunan lelaki muda yang akan dikerah ke Perang Vietnam. Setiap tarikh lahir dalam setahun ditulis pada kertas dan dimasukkan ke dalam kapsul, dan kapsul-kapsul itu dimasukkan ke dalam kotak mengikut bulan — Januari dahulu, Disember terakhir. Kotak itu dikacau, tetapi tidak cukup. Kapsul bulan-bulan akhir tahun, yang berada di atas, cenderung tercabut awal, dan lelaki yang lahir pada November dan Disember mendapat nombor giliran kerahan yang jauh lebih awal daripada sepatutnya. Ahli statistik membuktikan kecondongan itu, dan cabutan tahun berikutnya dijalankan dengan kaedah yang lebih ketat.

Pengajarannya terus boleh digunakan di majlis anda. Jika kertas dimasukkan ke dalam balang mengikut jabatan, mengikut meja, atau mengikut siapa yang datang dahulu, kacau betul-betul sebelum cabutan pertama. Kertas yang dimasukkan terakhir akan berada di atas, dan tangan yang mencabut jarang menyelam sehingga ke dasar.

Apabila cabutan dibuat dengan komputer, masalah yang sama muncul dalam bentuk lain. Cara paling semula jadi untuk mengocok senarai nama ialah melalui setiap kedudukan dan menukarnya dengan mana-mana kedudukan rawak dalam senarai. Kedengaran adil, tetapi tidak. Dengan tiga nama sahaja, kaedah itu mempunyai 27 laluan yang sama berkemungkinan, dan 27 tidak boleh dibahagi sama rata kepada enam susunan yang mungkin. Tiga susunan akhirnya muncul lima kali daripada 27 dan tiga lagi hanya empat kali — kira-kira 18.5 peratus berbanding 14.8 peratus, sedangkan yang adil ialah 16.7 peratus setiap satu. Dengan lebih banyak nama, kecondongannya menjadi lebih rumit, tetapi tidak hilang.

Kaedah yang betul telah diterbitkan pada 1938 oleh dua ahli statistik British, Ronald Fisher dan Frank Yates, dan versi untuk komputer diperkenalkan oleh Richard Durstenfeld pada 1964. Bezanya kecil tetapi menentukan: setiap kedudukan hanya ditukar dengan kedudukan yang belum lagi dikocok. Untuk tiga nama, itu memberi tiga darab dua darab satu, iaitu enam laluan — satu bagi setiap susunan, tepat sama rata. Alat Pembentuk Kumpulan di laman ini menggunakan kaedah Fisher–Yates ini.

Selepas nama dikocok, alat itu membahagikannya seperti membahagi daun terup: satu nama ke Kumpulan 1, satu ke Kumpulan 2, dan seterusnya berulang-ulang. Kesannya, saiz kumpulan tidak pernah berbeza lebih daripada seorang. Perkara ini paling terasa dalam mod orang setiap kumpulan. Jika anda minta empat orang setiap kumpulan untuk sepuluh murid, anda tidak akan mendapat 4, 4 dan 2 — anda mendapat tiga kumpulan, 4, 3 dan 3. Tiga belas murid dengan lima setiap kumpulan memberi 5, 4 dan 4. Kumpulan kecil yang terbiar bersendirian tidak pernah wujud.

Satu lagi perkara yang mengejutkan ramai ialah rupa sebenar kerawakan. Minta seseorang menulis seratus lambungan syiling rekaan, dan mereka jarang menulis enam kepala berturut-turut, kerana ia kelihatan tidak rawak. Dalam seratus lambungan sebenar, peluang terdapat sekurang-kurangnya enam kepala atau enam bunga berturut-turut ialah kira-kira 81 peratus. Kerawakan sebenar berketul-ketul. Yang kelihatan terlalu sekata biasanya direka oleh manusia.

Inilah juga sebabnya pemilih rawak sering dituduh rosak. Seorang guru yang memilih murid untuk menjawab soalan daripada kelas 30 orang, dengan ulangan dibenarkan, mempunyai peluang lebih 53 peratus untuk memanggil nama yang sama dua kali dalam tujuh pilihan sahaja. Tiada apa yang rosak; itulah rupa kerawakan. Ia adik-beradik dengan paradoks hari jadi yang terkenal — dalam kelas 30 orang, peluang dua murid berkongsi tarikh lahir ialah kira-kira 70 peratus.

Jika yang anda mahu ialah setiap orang mendapat giliran sebelum sesiapa mendapat giliran kedua, itu bukan cabutan dengan ulangan. Itu cabutan tanpa ulangan, seperti mengeluarkan kertas dari balang tanpa memasukkannya semula. Pemilih Rawak di laman ini mempunyai tetapan Jangan ulang pilihan untuk tujuan itu, dan ia dihidupkan secara lalai.

Kesilapan terakhir yang perlu dielakkan ialah menganggap nama yang lama tidak keluar sudah tiba gilirannya. Balang yang kertasnya dikembalikan selepas setiap cabutan tidak mempunyai ingatan. Nama yang tidak terpilih sepuluh kali berturut-turut mempunyai peluang yang sama seperti nama lain pada cabutan kesebelas — sama seperti syiling yang baru jatuh kepala lima kali berturut-turut masih mempunyai peluang separuh untuk jatuh kepala sekali lagi.

Ringkasnya, untuk cabutan yang benar-benar adil: jangan risau tentang giliran, risaulah tentang kacauan. Gunakan cabutan tanpa ulangan apabila semua orang patut mendapat giliran, dan jangan terkejut apabila kerawakan kelihatan berketul. Untuk cabutan bertuah atau memilih nama, gunakan roda di cerdikcerdik.com/tools/randomizer. Untuk membahagikan kelas atau pasukan futsal, gunakan cerdikcerdik.com/tools/team-maker.